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本文将介绍 对数凹函数和对数凸函数 。 包括 对数凹函数和对数凸函数的定义， 二阶可微的对数凸（凹）函数、相乘、相加与积分的性质。 1 定义 如果函数，定义域内满足的点构成的是凸的，那么称函数为对数凸函数。相应的，如果是凹的的，那么称函数为对数凹函数。 我们还可以不用对数描述对数凹凸性。设… 阅读更多 »对数凹函数和对数凸函数

本文介绍 拟凸函数 （ quasiconvex function ），包括其定义，Jensen 不等式、定义域为 R 基础性质，一阶、二阶条件的可微拟凸函数，可以保留拟凸性质的运算（权重非负的最大值、复合、最小值）。 1 定义 如果一个函数的定义域及其所有子集满足对任意都是凸的，那么称函数… 阅读更多 »拟凸函数（quasiconvex function）

本文介绍了 共轭函数 ，包括定义和 Fenchel’s inequality 、共轭函数、可微函数的共轭、仿射变换的缩放与复合、相互独立的函数的和等性质。此外，文中包含了常见函数（线性、log等）的共轭函数，方便查询使用。 定义 设一函数,那么它的共轭函数定义为：的定义域为使有… 阅读更多 »共轭函数（the conjugate function）

计算机等数字化处理方式逐渐替代模拟电路进行逻辑运算，而数字化处理方法使用的都是离散模型，即每个采样周期内输入保持不变。本文介绍如何将连续时间线性系统进行离散化。 1 离散化方法 考虑线性时不变系统：其中状态x为n维列向量，输入u为p维列向量，A为常阵，B为常阵。可将其离散化为下面形式并满足… 阅读更多 »连续时间线性系统的时间离散化

前面介绍了可以保留凸性质的集合运算。从凸集变为凸函数后，我们将讨论可以 保留凸性质的函数运算 。 1 非负加权和（nonegative weighted sum） 很明显，如果函数f是一个凸函数，那么f乘以乘以一个非负常数a后仍为凸函数。如果函数f和g都是凸函数，那么他们的和仍为凸函数。下… 阅读更多 »保留凸性质的函数运算

本文介绍了 凸函数的基本性质和例子 ， 包括基础定义、扩展值延伸（extended-value extension）、 一阶条件（first-order condition）、二阶条件（second-order condition）、典型凸函数等。 1 定义 如果函数的定义域和值域都是凸集… 阅读更多 »凸函数的基本性质和例子

本文将介绍 对偶锥与广义不等式 ，包括真锥（proper cone）、广义不等式（generalized inequality）、分割超平面定理（separating hyperplane theorem）、分割超平面定理（separating hyperplane theorem）等。 … 阅读更多 »对偶锥（dual cone）与广义不等式（generalized inequality）

本文介绍了 保留凸性质的集合运算 , 包括交集（intersection）、仿射函数（affine function）、透视函数（perspective function）、线性分式函数（linear-fractional function）。 1 交集（intersection） 如果集… 阅读更多 »保留凸性质的集合运算

本文是我在学习Convex Optimization这本书第2章Convex sets过程的读书笔记，翻译了凸优化基本概念的定义和相关性质。一些名词的翻译参考了其他博客的翻译，没有经过仔细查阅文献，所以专业名词都保存了英文原文。 1 超平面（hyperplane）和半空间(halfspac… 阅读更多 »典型凸集

本文是我在学习Convex Optimization这本书第2章Convex sets过程的读书笔记，翻译了凸优化基本概念的定义和相关性质。一些名词的翻译参考了其他博客的翻译，没有经过仔细查阅文献，所以专业名词都保存了英文原文。 线与线段 仿射集 仿射维度和相对内部 凸集 锥 参考 1 线… 阅读更多 »凸集基本概念