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对数凹函数和对数凸函数

  1. 定义
  2. 性质

1 定义

如果函数f:R^n\rightarrow R,定义域内满足f(x)>0的点构成的\mathrm{log}f是凸的,那么称函数f为对数凸函数。相应的,如果log(f)是凹的的,那么称函数f为对数凹函数。

我们还可以不用对数描述对数凹凸性。设一函数f:R^n\rightarrow R,其定义域为一凸集且定义域内所有点都满足f(x)>0,那么函数f是对数凹函数的充要条件是f(\theta x+(1-\theta x))\geqslant f(x)^\theta f(y)^{1-\theta}

对比凸函数的定义可以看出凸函数中任意两点平均位置的函数值都大于两点函数值的算术平均值,而对数凸函数的任意两点连线中点函数值都大于两点函数值的几何平均值。

2 性质

二阶可微的对数凸(凹)函数

设函数f是一个二阶可微的,并且定义域是一个凸集,那么有\nabla^2\mathrm{log}f(x)=\frac{1}{f(x)}\nabla^2f(x)-\frac{1}{f(x)^2}\nabla f(x)\nabla f(x)^T若函数f为对数凸函数,则需要满足\nabla^2\mathrm{log}f(x)\succeq0,也就是f(x)\nabla^2 f(x)\succeq \nabla f(x)\nabla f(x)^T类似的,当为对数凹函数时则需要满足f(x)\nabla^2 f(x)\preceq \nabla f(x)\nabla f(x)^T

相乘、相加与积分

两个对数凸(凹)函数相乘的结果仍然是一个对数凸(凹)函数。设对数对数凸函数f,g,h=f\cdot g,等式同做log运算,可以得到\mathrm{log}h=\mathrm{log}f+\mathrm{log}g。由于凸函数的和仍是一个凸函数,所以函数h也是一个对数凸函数。

设函数f,g是对数凸函数,也就是F=\mathrm{log}f,G=\mathrm{log}g是一个凸函数,那么\mathrm{log}(\mathrm{exp}F+\mathrm{exp}G)=\mathrm{log}(f+g)是一个凸函数,所以对数凸函数的和仍是一个对数凸函数。

积分是求和的一个极限情况,对于每一个y\in C,f(x,y)都是关于x的对数凸函数,那么g(x)=\int_Cf(x,y)\mathrm{d}y也是一个对数凸函数。对数凹函数对积分运算也会保留凹凸性,但是证明起来相对复杂。

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