首页 » 学习 » 保留凸性质的函数运算

保留凸性质的函数运算

  1. 非负加权和(nonegative weighted sum)
  2. 仿射映射(affine mapping)
  3. 逐点最大值和最小值(pointwise maximum and supremum)
  4. 复合函数(composition)
  5. 最小化(Minimization)
  6. 函数的透视(Perspective of a function)

前面介绍了可以保留凸性质的集合运算。从凸集变为凸函数后,我们将讨论可以保留凸性质的函数运算。

1 非负加权和(nonegative weighted sum)

很明显,如果函数f是一个凸函数,那么f乘以乘以一个非负常数a后仍为凸函数。如果函数f和g都是凸函数,那么他们的和仍为凸函数。下面将这两个性质结合起来。如果f_i,i=1,\ldots,n都是凸函数,那么他们非负加权和f=\omega_1f_1+\cdots+\omega_nf_n仍是凸函数。类似的凹函数的非负加权和也是凹函数。

还可以将求和扩展成积分。如果f(x,y)y\in \Alpha是一个凸函数,那么g(x)=\int_\Alpha\omega(y)f(x,y)\mathrm{d}y,\omega\geqslant0也是凸函数。

2 仿射映射(affine mapping)

设函数f:R^n\rightarrow R它的仿射映射g(x)=f(Ax+b),A\in R^{n\times m},b\in R^n与原函数f凹凸性保持一致。

3 逐点最大值和最小值(pointwise maximum and supremum)

如果函数f_1,f_2是凸函数,那么他们的逐点最大值函数f(x)=max{f_1(x),f_2(x)},\mathbf{dom}f=\mathbf{dom}f_1\cap\mathbf{dom}f_2也是凸函数。类似的,如果函数f_1,f_2是凹函数,他们逐点最小值函数f(x)=min{f_1(x),f_2(x)},\mathbf{dom}f=\mathbf{dom}f_1\cap\mathbf{dom}f_2也是凹函数。

前面讨论的函数f函数值为标量,保留凹凸性质可以扩展到矢量中。对于每个y\in A,函数f(x,y)都是x的凸函数,呢么它的上确界(supermum)g(x)=\mathop{sup}\limits_{y\in A}f(x,y)也是凸函数。函数g的定义域为\mathbf{dom}g=\{x\mid(x,y)\in \mathbf{dom}f,y\in A \mathop{sup}\limits_{y\in A}f(x,y)<\infty\}如果用上镜图(epigraph)考虑,就是函数g的上镜图是对于每一个x的上镜图的交集\mathbf{epi}\;g=\bigcap\limits_{y\in A}\mathbf{epi}\;f(\cdot,y)

4 复合函数(composition)

考虑两个凹凸性一致的函数h:R^k\rightarrow R,g:R^n\rightarrow R^k,他们的复合函数f=h\circ g:R^n\rightarrow R凹凸性不变。f(x)=h(g(x)),\mathbf{dom}\; f=\{x\in \mathbf{dom}\; g\mid g(x)\in\mathbf{dom}\;h\}

先考虑简单一点的情况:k=1,这时复合函数退化成函数的缩放(scalar composition)。设定义域内二阶可导的函数h、g(\mathbf{dom}\; g=\mathbf{dom}\; h=R),那么他们的复合函数f的二阶导可以表示为f''(x)=h''(g(x))g'(x)^2+h'(g(x))g''(x)由此可以得到:

  • 如果h是凸函数且不减,g为凸函数,那么f为凸函数
  • 如果h是凸函数且不增,g为凹函数,那么f为凸函数
  • 如果h是凹函数且不减,g为凹函数,那么f为凹函数
  • 如果h是凹函数且不增,g为图案书,那么f为凹函数

若函数h、g不可导,或定义域不是全体实数,则需要限制h的扩展值延伸(extended-value extension)不增或者不减。

接下来进一步把问题复杂化,设n=1,但去掉k的限制。这时问题变为了向量的复合。同样假设函数h、g二阶可导,那么f''(x)=g'(x)^T\triangledown^2h(g(x))g'(x)+\triangledown h(g(x))^Tg''(x)其中\triangledown^2黑塞矩阵(Hessian Matrix)。这样就可以得到与k=1时相同的结论。同样,当n>1或者函数h、g不可二阶导,那么改h的约束条件为h扩展值延伸的约束条件。

5 最小化(Minimization)

一些形式的最小化不会破坏函数的凸性质。如果函数f在(x,y)上为凸函数,C是一个非空凸集,那么函数g(x)=\mathop{inf}\limits_{y\in C}f(x,y)仍是x的凸函数。其定义域为\mathbf{dom}\; g=\{x\mid (x,y)\in \mathbf{dom}\; f,y\in C\}

6 函数的透视(Perspective of a function)

函数f:R^n\rightarrow R的透视函数g:R^{n+1}\rightarrow R定义为g(x,t)=tf(x/t)定义域为\mathbf{dom}\;g=\{(x,t)\mid x/t \in \mathbf{dom}\; f,t>0\}透视函数的凹凸性与原函数保持一致。

标签:

《保留凸性质的函数运算》有1个想法

发表评论

电子邮件地址不会被公开。 必填项已用*标注