本文介绍了 凸函数的基本性质和例子 ， 包括基础定义、扩展值延伸（extended-value extension）、 一阶条件（first-order condition）、二阶条件（second-order condition）、典型凸函数等。
1 定义
如果函数f:R^n\rightarrow R的定义域和值域都是凸集，而且对任意\theta\in[0,1]都满足f(\theta x+(1-\theta)y)\leqslant\theta f(x)+(1-\theta)f(y)那么称函数f是一个凸函数（convex function）。如果将上式中的小于等于修改为小于，定义域内任意不等的x和y仍然满足，那么称函数f是一个严格凸函数(strictly convex function)。
形象的理解凸函数就是任取定义域内两点x_1,x_2，那么(x_1,f(x_1)),(x_2,f(x_2))的连线在区间(x_1,x_2)所对应的函数值上。所以凸函数是我们通常意义上的凹。
如果-f为凸函数，那么函数f为凹函数。如果-f为严格凸函数，那么函数f为严格凹函数。
2 扩展值延伸（extended-value extension）
如果f为凸函数，那么通过下式定义扩展值延伸\tilde{f}:R^n\rightarrow R \cup\{\infty\}:
\tilde{f}(x)=\begin{cases}f(x) &x\in \mathbf{dom}f\\ \infty &x\notin\mathbf{dom}f\end{cases}
也就是如果在f定义域内则\tilde{f}函数值与f相同，如果不在f定义域内则\tilde{f}函数值为无穷。
使用扩展值延伸的好处是函数计算时不需要考虑定义域。考虑f=f_1+f_2，那么\mathbf{dom}f=\mathbf{dom}f_1\cup\mathbf{dom}f_2。但是如果使用扩展值延伸则任意x都在定义域内.即使不在f_1,f_2定义域的x仍然在\cup{f}的定义域内，只不过函数值为无穷。
3 一阶条件（first-order condition）
如果函数f是可微的，那么它是凸函数的充要条件是它的定义域为凸集且满足f(y)\geqslant f(x)+\triangledown f(x)^T(y-x)其中x,y是定义域内任意的两个点。如果式中为严格大于那么将会对应严格凸函数的充要条件。同样，也可以死用类似的方法判断凹函数和严格凹函数。
4 二阶条件（second-order condition）
如果函数f二阶可微，那么f是凸函数的充要条件是对于定义域为凸集，且定义域内任意x都满足\triangledown^2f(x)\succeq0二阶微分有时还被称为Hessian derivative。类似的，如果\triangledown^2f(x)\succ 0则f为严格凸函数，\triangledown^2f(x)\preceq0则f为凹函数，\triangledown^2f(x)\prec则f为严格凹函数。
5 典型凸函数
本节将给出一些典型的凸函数，受篇幅限制不予证明。首先给出一些值域为实数的凸函数：
- 指数函数（exponential）:e^{ax},x\in R,a\in R
- 幂函数（power）：x^a,x\in R_{++}在a\in (-\infty,0]\cup[1,\infty)上为凸函数，在a\in[0,1]上为凹函数
- 绝对值幂函数（power of absolute calue）：\mid x \mid^p,p\geqslant1,x\in R
- 对数函数（logarithm）：\text{log} x,x\in R_++
- 负熵（negative entropy）：x\text{log}x,x\in R_{++}\text{ or }x\in R_+\text{ and defined as 0 for }x=0
这些函数计算二阶导大于零就可以证明他们是凸函数。还有些值域在R^n上的凸函数：
- 范数（Norm）：R^n上所有的范数都是凸函数
- 最大值函数（max function）：f(x)=max\{x_1,\ldots,x_n\}在R^n上是凸函数
- 二次线性分式函数（Quadratic-over-llinear function）：函数f(x,y)=x^2/y在\mathbf{dom}f=R\times R_{++}={(x,y)\in R^2\mid y>0}是凸函数
- 指数和的对数（log-sum-exp）：f(x)=log(e^{x^1}+\cdots+e^{x^n})在R^n上是凸函数
- 几何平均（Geometric mean）：(\textstyle \prod_{i=1}^nx_i)^{1/n}在R_{++}^n上为凸函数
- 对数行列式（log-determinant）：f(X)=\text{ log det }X在S_{++}^n上为凸函数。S_{++}^n为n\times n的对称正定矩阵
6 下水平集（sublevel set）
\alpha\text{-下水平集}f:R^n\rightarrow R定义为C_\alpha=\{x\in\mathbf{dom}f\mid f(x)\leqslant\alpha\}即函数值小于alpha的集合。一个凸函数的任意alpha下水平集都是凸的，但不能反过来使用，也就是任意下水平集都是凸的不能说明函数是凸函数（例如f(x)=-e^x）。
如果函数f是凹函数，那么它的上水平集（\{x\in\mathbf{dom}f\mid f(x)\geqslant \alpha \}）是一个凸集。
7 上镜图（epigraph）
函数f:R^n\rightarrow R的图像（graph）定义为\{(x,f(x))\mid x\in \mathbf{dom}f\}函数f的上镜图定义为\mathbf{epi}f=\{(x,t)\mid x\in \mathbf{dom}f,f(x)\leqslant t\}通俗的说上镜图就是函数图像以上的部分。与上镜图对应的是亚图（hypograph）：\mathbf{hypo}f=\{(x,t)\mid t \leqslant f(x)\}一个函数是凸函数的充要条件是它的上镜图是一个凸集，是凹函数的充要条件是它的亚图是一个凸集。
8 Jensen不等式及其拓展形式
本文开头的用于定义凸函数的不等式也被成为Jensen不等式f(\theta x+(1-\theta)y)\leqslant\theta f(x)+(1-\theta)f(y)如果函数f为凸函数，那么我们可以将两个点扩展到k个点：x_1,\ldots,x_k\in \mathbf{dom}f,\theta_1,\ldots,\theta_k\geqslant 0,\theta_1+\cdots+\theta_k=1,那么有f(\theta_1x_1+\cdots+\theta_kx_k)\leqslant\theta_1f(x_1)+\cdots+\theta_kf(x_k)我们可以进一步扩展到无限个点，这时求和变为积分：f(\int_Sp(x)xdx)\leqslant\int_Sf(x)p(x)dx如果x\in f(x)是一个随机数,f是一个凸函数，那么有 f(\mathbf{E}x)\leqslant\mathbf{E}f(x)其中\mathbf{E}表示期望。有趣的是尽管上面这些都被称为Jensen不等式，但Jensen本人研究是最简单的f(\frac{x+y}{2})\leqslant\frac{f(x)+f(y)}{2}
9 其他类型的不等式
对Jensen不等式取\theta=1/2可以得到算数几何平均值不等式（arithmetic-geometric mean inequality）\sqrt{ab}\leqslant(a+b)/2其中a,b\geqslant0。不等式两面再同时做log运算得到-log(\frac{a+b}{2})\leqslant\frac{-loga-logb}{2}下面介绍两个不那么常见的例子，Holder不等式：对p>1,1/p+1/q=1,x,y\in R^n,有\sum_{i=1}^nx_iy_i\leqslant(\sum_{i=1}^n\mid x_i\mid^p)^{1/p}(\sum_{i=1}^n\mid y_i\mid^q)^{1/q}另一个例子是形式更加通用的算数几何平均值不等式a^\theta b^{1-\theta}\leqslant \theta a+(1-\theta)b其中a,b\geqslant 0,0\leqslant\theta\leqslant1