计算机等数字化处理方式逐渐替代模拟电路进行逻辑运算，而数字化处理方法使用的都是离散模型，即每个采样周期内输入保持不变。本文介绍如何将连续时间线性系统进行离散化。
1 离散化方法
考虑线性时不变系统：\begin{aligned}&\dot{x}=Ax+Bu, x(0)=x_0,t\geqslant0\\&y=Cx+Du\end{aligned}其中状态x为n维列向量，输入u为p维列向量，A为n\times n常阵，B为n\times p常阵。
可将其离散化为下面形式\begin{aligned}&x(k+1)=Gx(x)+Hu(k),x(0)=x_0,k=1,2,\ldots\\&y(k)=Cx(k)+Du(k)\end{aligned}并满足以下关系：x(k)=[x(t)]_{t=kT},u(k)=[u(t)]_{t=kT},y(k)=[y(t)]_{t=kT}\\G=e^{AT},H=(\int^T_0e^{AT\mathrm{d}t})B
在证明上面关系前先介绍两个概念，基本解阵和状态转移矩阵。
2 基本解阵
基于状态方程构建基本解阵\Psi\dot{\Psi}(t)=A\Psi(t),\Psi(t_0)=H,t\geqslant t_0对于线性时不变系统，基本解阵由n个线性无关的列构成，H阵非奇异。可以这样理解，H每一个列向量都对应状态方程中的一个初始条件。对于自治系统（\dot{x}=Ax,x(t_0)=x_0,t\geqslant t_0）初始状态和和模型已知时，就可以解出状态整个的轨迹。对于一个n维的自治系统，有且仅有n个线性无关的初始条件，他们分别对应n个线性无关的状态轨迹（x(t)）。这个n个初始条件构成H，他们对应的n个状态轨迹构成基本解阵\Psi，其他所有的状态轨迹都可以用这n个状态轨迹线性表示。
不同的H阵会对应不同的基本解阵，所以基本解阵不唯一。常用的形式为e^{At}\dot{\Psi}(t)=Ae^{At}=A\Psi(t),t\geqslant t_0
3 状态转移矩阵
连续时间线性时不变系统的状态转移矩阵\Phi(t-t_0)为将t_0时刻转移到t时刻的矩阵，即\Psi(t)=\Phi(t-t_0)\Psi(t_0),t\geqslant t_0易得\Phi(t-t_0)=\Psi(t)\Psi^{-1}(t_0),t\geqslant t_0类似与基本解阵，状态转移矩阵满足\dot{\Phi}(t-t_0)=A\Phi(t-t_0),\Phi(0)=I,t\geqslant t_0状态转移矩阵是唯一的。考虑两个不同的基本解阵，他们相互必定可以线性表示,即存在一个非奇异实常阵P，使\Psi_2(t)=\Psi_1(t)P成立。那么\Phi(t-t_0)=\Psi_2(t)\Psi_2^{-1}(t_0)=\Psi_1(t)PP^{-1}\Psi_1^{-1}(t_0)=\Psi_1(t)\Psi_1^{-1}(t_0)所以状态转移矩阵\Phi(t-t_0)与基本解阵\Psi(t)的选取无关。
4 证明离散化方法
运用状态转移矩阵，可以将状态运动轨迹表示为x(t)=\Phi(t-t_0)x_0+\int^t_{t_0}\Phi(t-\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,t\geqslant 0令t=(k+1)T,t_0=0，那么有\begin{aligned}x((k+1)T)=&\Phi((k+1)T)x_0+\int^{(k+1)T}_0\Phi((k+1)T-\tau)B(\tau)u(\tau)\mathrm{d}\tau\\=&\Phi((k+1)T-kT)[\Phi(kT)x_0+\int^{kT}_0\Phi(kT-\tau)B(\tau)u(\tau)\mathrm{d}\tau]+\\&[\int^{(k+1)T}_{kT}\Phi((k+1)T-\tau)B(\tau)\mathrm{d}\tau]u(kT)\\=&\Phi(T)x(kT)+[\int^{(k+1)T}_{kT}\Phi((k+1)T-\tau)B(\tau)\mathrm{d}\tau]u(kT)\\=&Gx(kT)+H(k)u(kT)\end{aligned}第二个等号最后一项u(kT)可以从积分中提到外面是因为在离散系统中一个采样周期中输入为一个常数。写成离散形式得x(k+1)=Gx(k)+H(k)u(k)替换H(k)中\tau为t=(k+1)T-\tau，可得\mathrm{d}\tau=-\mathrm{d}t,\int^{(k+1)T}_{kT}\cdot \mathrm{d}t=-\int^0_{\tau}\cdot \mathrm{d}t这时H(k)=(-\int^0_\tau\Phi(t)\mathrm{d}t)B=(\int^\tau_0e^{At}\mathrm{d}t)BH与k无关，所以离散形式也可以写为x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)证毕。
5 参考
- 线性系统理论（第二版） 郑大钟 编著 清华大学出版社