拟凸函数(quasiconvex function)

  1. 定义
  2. 基础性质
  3. 可微拟凸函数
  4. 可以保留拟凸性质的运算

1 定义

如果一个函数的定义域及其所有子集满足对任意都是凸的,那么称函数为拟凸函数(quasiconvex function)。也就是存在一个使函数值小于的部分是凸的,那么该函数为拟凸的。

类似的,当函数满足都是凸的,那么称函数为拟凹函数(quasiconcave function)。也就是如果是拟凸的,那么是拟凹的。

若函数同时满足拟凸和拟凹,即满足那么称该函数为拟线性函数。

下面通过作为例子

使用定义式进行说明,取得到,是个凸集。类似的取其他,仍是一个凸集,所以是个拟凸函数。取仍然可以得到类似的结论,所[……]

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修改全局适用的Linux默认程序

在manjaro KDE中使用右键打开方式、系统设置等方式无法改变第三方程序打开程序的默认程序选择。例如,使用右键选择pdf的默认程序为okular,但是只有在文件浏览器中打开pdf文件的情况下会调用okular,在文献管理软件zotero中打开pdf文件调用的程序没有被修改。本文将介绍方法,修改全局适用的Linux默认程序。

一般状况下,在修改Linux默认程序和在windows中步骤相同:选择一个希望修改的默认程序的文件,然后右键,在菜单中选择打开方式。

在弹出的窗口中选择默认使用的程序,并勾选默认使用该程序打开。

邮件管理、文件管理、终端、浏览器的默认软件都可以[……]

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共轭函数(the conjugate function)

定义

设一函数,那么它的共轭函数定义为:的定义域为使有界的所有。下面列举几个常见函数与他们的共轭函数。

原函数共轭函数

基本性质

Fenchel’s inequality
从共轭函数的定义式可以得到不等式该式被称为Fenchel’s inequality(当f可微时被称为Young’s inequality)

共轭函数的共轭
如果函数f是凸的闭函数,那么函数f的共轭函数的共轭仍是函数f,即

可微函数的共轭
可微函数f的共轭被成为函数f的Legendre变换。为了将可微函数的共轭与一般形式的共轭区分开,称其为Fenchel共轭。
如果函数f是可微的凸函数,那么的最大值[……]

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连续时间线性系统的时间离散化

计算机等数字化处理方式逐渐替代模拟电路进行逻辑运算,而数字化处理方法使用的都是离散模型,即每个采样周期内输入保持不变。本文介绍如何将连续时间线性系统进行离散化。

离散化方法

考虑线性时不变系统:其中状态x为n维列向量,输入u为p维列向量,A为常阵,B为常阵。
可将其离散化为下面形式并满足以下关系:

在证明上面关系前先介绍两个概念,基本解阵和状态转移矩阵。

基本解阵

基于状态方程构建基本解阵对于线性时不变系统,基本解阵由n个线性无关的列构成,H阵非奇异。可以这样理解,H每一个列向量都对应状态方程中的一个初始条件。对于自治系统()初始状态和和模型已知时,就可以解出状态整[……]

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保留凸性质的函数运算

  1. 非负加权和(nonegative weighted sum)
  2. 仿射映射(affine mapping)
  3. 逐点最大值和最小值(pointwise maximum and supremum)
  4. 复合函数(composition)
  5. 最小化(Minimization)
  6. 函数的透视(Perspective of a function)

前面介绍了可以保留凸性质的集合运算。从凸集变为凸函数后,我们将讨论可以保留凸性质的函数运算。

1 非负加权和(nonegative weighted sum)

很明显,如果函数f是一个凸函数,那么f乘以乘以一个非负常数a后仍为凸函数。如果函数f和g都是凸函数,那么他[……]

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让WordPress下的百度统计不记录已登录用户的数据

百度统计是在国内使用较为方便的一款网站统计工具,可以帮助站长了解网站的访客数量、来源等统计数据,方便进行内容优化。本文将介绍让WordPress下的百度统计不记录已登录用户的数据。使用百度统计需要进入后台获取类似下面的统计代码,将他们插入到主题的header.php中</head>标签前。

直接使用这段代码会在每个网页在被访问时都会调用统计,出现的问题是统计数据不会区分访客和管理员。像我这样的小网站,如果一天我频繁使用网站写东西,那么这一天的统计数据会远高于其他天数,严重影响统计结果。可以通过修改统计代码,实现让百度统计排除已知用户。在百度统计代码前后加上

is_use[……]

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凸函数的基本性质和例子

  1. 定义
  2. 扩展值延伸(extended-value extension)
  3. 一阶条件(first-order condition)
  4. 二阶条件(second-order condition)
  5. 典型凸函数
  6. 下水平集(sublevel set)
  7. 上镜图(epigraph)
  8. Jensen不等式及其拓展形式
  9. 其他类型的不等式
  10. 参考

1 定义

如果函数的定义域和值域都是凸集,而且对任意都满足那么称函数f是一个凸函数(convex function)。如果将上式中的小于等于修改为小于,定义域内任意不等的x和y仍然满足,那么称函数f是一个严格凸函数(strictly convex function)。

形象的理解凸[……]

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对偶锥(dual cone)与广义不等式(generalized inequality)

  1. 真锥
  2. 广义不等式
  3. 分割超平面定理
  4. 支撑超平面
  5. 对偶锥和对偶广义不等式
  6. 最小和极小元素
  7. 参考

1 真锥(proper cone)

锥如果满足以下几个条件则可以被称为真锥

  • K是凸的
  • K是闭合的(closed)
  • K是solid,也就是内部不是空的。
  • K是尖的,也就是内部不含有直线,

2 广义不等式(generalized inequality)

广义不等式是一种偏序(不必要保证所有对象都具有可比较性),可以使用真锥来进行定义:

类似的还有严格偏序

广义不等式的性质:

  • 可加性:如果,那么有
  • 传递性:如果,那么有
  • 可以进行非负的缩放:如果,那么有
  • 自反性:
  • 不对称性:如果,那么
  • 可以进行[……]

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保留凸性质的集合运算

交集(intersection)

如果集合和都是凸集,那么他们的交集也是凸集。我们也可以拓展到任意数量的凸集的交集也是凸集。

举个例子,多面体是半空间和超平面的交集。因为半空间和超平面都是凸集,那么多面体也是一个凸集。

仿射函数(affine function)

仿射函数是通过线性函数和常数的组合实现从到的映射。
仿射函数不会打破凸性质,也就是通过通过仿射函数其中,如果属于凸集,那么仿射函数
也是凸的。
同样,反过来使用仿射函数也不会破坏凸性质,即也是凸的。

通过仿射函数可以拓展很多已知是凸的函数到新的函数。例如缩放()和平移()都是特殊的仿射函数,所以他们都不会改变凸[……]

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使Linux版Firefox支持触摸屏操作

在很多发行版中都预装了Firefox。Linux版Firefox默认没有开启触摸屏手势操作,触摸屏的所有操作都会被当做普通的鼠标操作。其实Firefox本身已经包含了触摸屏手势操作功能,只是没有开启。本文讲介绍通过更改软件设置,使Linux版Firefox支持触摸屏操作。

一共有两个地方需要修改:

第一个是在about:config中找到dom.w3c_touch_events.enabled项改为1(启用),默认为2(自动)。

第二个地方是修改文件/etc/security/pam_env.conf,在文件最后添加下面代码

修改完成后重启Firefox就可以使[……]

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