保留凸性质的函数运算

  1. 非负加权和(nonegative weighted sum)
  2. 仿射映射(affine mapping)
  3. 逐点最大值和最小值(pointwise maximum and supremum)
  4. 复合函数(composition)
  5. 最小化(Minimization)
  6. 函数的透视(Perspective of a function)

前面介绍了可以保留凸性质的集合运算。从凸集变为凸函数后,我们将讨论可以保留凸性质的函数运算。

1 非负加权和(nonegative weighted sum)

很明显,如果函数f是一个凸函数,那么f乘以乘以一个非负常数a后仍为凸函数。如果函数f和g都是凸函数,那么他[……]

继续阅读

wordpress logo

让WordPress下的百度统计不记录已登录用户的数据

百度统计是在国内使用较为方便的一款网站统计工具,可以帮助站长了解网站的访客数量、来源等统计数据,方便进行内容优化。本文将介绍让WordPress下的百度统计不记录已登录用户的数据。使用百度统计需要进入后台获取类似下面的统计代码,将他们插入到主题的header.php中</head>标签前。

直接使用这段代码会在每个网页在被访问时都会调用统计,出现的问题是统计数据不会区分访客和管理员。像我这样的小网站,如果一天我频繁使用网站写东西,那么这一天的统计数据会远高于其他天数,严重影响统计结果。可以通过修改统计代码,实现让百度统计排除已知用户。在百度统计代码前后加上

is_use[……]

继续阅读

凸函数的基本性质和例子

  1. 定义
  2. 扩展值延伸(extended-value extension)
  3. 一阶条件(first-order condition)
  4. 二阶条件(second-order condition)
  5. 典型凸函数
  6. 下水平集(sublevel set)
  7. 上镜图(epigraph)
  8. Jensen不等式及其拓展形式
  9. 其他类型的不等式
  10. 参考

1 定义

如果函数的定义域和值域都是凸集,而且对任意都满足那么称函数f是一个凸函数(convex function)。如果将上式中的小于等于修改为小于,定义域内任意不等的x和y仍然满足,那么称函数f是一个严格凸函数(strictly convex function)。

形象的理解凸[……]

继续阅读

对偶锥(dual cone)与广义不等式(generalized inequality)

  1. 真锥
  2. 广义不等式
  3. 分割超平面定理
  4. 支撑超平面
  5. 对偶锥和对偶广义不等式
  6. 最小和极小元素
  7. 参考

1 真锥(proper cone)

锥如果满足以下几个条件则可以被称为真锥

  • K是凸的
  • K是闭合的(closed)
  • K是solid,也就是内部不是空的。
  • K是尖的,也就是内部不含有直线,

2 广义不等式(generalized inequality)

广义不等式是一种偏序(不必要保证所有对象都具有可比较性),可以使用真锥来进行定义:

类似的还有严格偏序

广义不等式的性质:

  • 可加性:如果,那么有
  • 传递性:如果,那么有
  • 可以进行非负的缩放:如果,那么有
  • 自反性:
  • 不对称性:如果,那么
  • 可以进行[……]

    继续阅读

保留凸性质的集合运算

交集(intersection)

如果集合和都是凸集,那么他们的交集也是凸集。我们也可以拓展到任意数量的凸集的交集也是凸集。

举个例子,多面体是半空间和超平面的交集。因为半空间和超平面都是凸集,那么多面体也是一个凸集。

仿射函数(affine function)

仿射函数是通过线性函数和常数的组合实现从到的映射。
仿射函数不会打破凸性质,也就是通过通过仿射函数其中,如果属于凸集,那么仿射函数
也是凸的。
同样,反过来使用仿射函数也不会破坏凸性质,即也是凸的。

通过仿射函数可以拓展很多已知是凸的函数到新的函数。例如缩放()和平移()都是特殊的仿射函数,所以他们都不会改变凸[……]

继续阅读

使Linux版Firefox支持触摸屏操作

在很多发行版中都预装了Firefox。Linux版Firefox默认没有开启触摸屏手势操作,触摸屏的所有操作都会被当做普通的鼠标操作。其实Firefox本身已经包含了触摸屏手势操作功能,只是没有开启。本文讲介绍通过更改软件设置,使Linux版Firefox支持触摸屏操作。

一共有两个地方需要修改:

第一个是在about:config中找到dom.w3c_touch_events.enabled项改为1(启用),默认为2(自动)。

第二个地方是修改文件/etc/security/pam_env.conf,在文件最后添加下面代码

修改完成后重启Firefox就可以使[……]

继续阅读

典型凸集

  1. 超平面(hyperplane)和半空间(halfspace)
  2. 欧几里得球(euclidean ball)和椭球体(ellipsoid)
  3. 多面体(polyhedra)和单纯形(simplex)
  4. 参考

本文是我在学习Convex Optimization这本书第2章Convex sets过程的读书笔记,翻译了凸优化基本概念的定义和相关性质。一些名词的翻译参考了其他博客的翻译,没有经过仔细查阅文献,所以专业名词都保存了英文原文。

1 超平面(hyperplane)和半空间(halfspace)

超平面是形如

的集合,其中。虽然名为平面,但不一定为平面。二维空间中,超平面为一条线;三维空间中[……]

继续阅读

convex_optimization

凸集基本概念

  1. 线与线段
  2. 仿射集
  3. 仿射维度和相对内部
  4. 凸集
  5. 参考

本文是我在学习Convex Optimization这本书第2章Convex sets过程的读书笔记,翻译了凸优化基本概念的定义和相关性质。一些名词的翻译参考了其他博客的翻译,没有经过仔细查阅文献,所以专业名词都保存了英文原文。

1 线与线段

设不等的两个点 ,这两个点可以通过

形成直线(line),其中。通过调整可以得到所在直线上任意一个点。
也可以变形

当时,为以为端点的线段(line segment)

2 仿射集

当一个属于的C,其中任意两个不同的点所在直线仍在C中,则称C是一个仿射集(affine set)。也[……]

继续阅读

Manjaro更换中文源与安装输入法

Manjaro是一个非常优秀的Linux发行版本。它继承了archlinux的滚动升级的特征,但又不那么激进,保证了系统的稳定性。像大部分发行版本一样,在国内使用首先要换源,Manjaro本身包含了很多国内的源。使用下面命令可以自动测试各个源的速度。本文将介绍如何Manjaro更换中文源与安装输入法。

下面要编辑pacman.conf,添加archlinuxcn源。archlinuxcn是一个由Arch Linux 中文社区驱动的非官方用户仓库。

在文件最后添加

之后更新软件数据源

有了archlinuxcn源就可以安装搜狗输入法了。安装时不能直接安装最[……]

继续阅读

wordpress logo

解决虚拟主机WordPress打开缓慢

为了提高网站访问速度,最近把网站从Vultr迁到了阿里云。考虑到安全性和方便性,选择了虚拟主机产品。实际情况访问速度经常很慢,经常会达到5、6秒,虽然比Vultr有时候根本打不开效果好,但是和预期还是很大差距的。

虚拟主机的安全性比VPS,而且环境搭建也快,但操作空间很小。网上大部分的WordPress优化教程在虚拟主机上都无法实施。本文介绍如何排查访问缓慢的问题,和解决虚拟主机WordPress打开缓慢的问题。

网络速度

首先要测试的是网络环境,直接ping域名

得到 ttl=52 time=5.39ms。网络环境没问题。而且我在同一虚拟主机下的搭建的淘宝优惠券网[……]

继续阅读