前面介绍了可以保留凸性质的集合运算。从凸集变为凸函数后，我们将讨论可以 保留凸性质的函数运算 。
1 非负加权和（nonegative weighted sum）
很明显，如果函数f是一个凸函数，那么f乘以乘以一个非负常数a后仍为凸函数。如果函数f和g都是凸函数，那么他们的和仍为凸函数。下面将这两个性质结合起来。如果f_i,i=1,\ldots,n都是凸函数，那么他们非负加权和f=\omega_1f_1+\cdots+\omega_nf_n仍是凸函数。类似的凹函数的非负加权和也是凹函数。
还可以将求和扩展成积分。如果f(x,y)对y\in \Alpha是一个凸函数，那么g(x)=\int_\Alpha\omega(y)f(x,y)\mathrm{d}y,\omega\geqslant0也是凸函数。
2 仿射映射（affine mapping）
设函数f:R^n\rightarrow R它的仿射映射g(x)=f(Ax+b),A\in R^{n\times m},b\in R^n与原函数f凹凸性保持一致。
3 逐点最大值和最小值（pointwise maximum and supremum）
如果函数f_1,f_2是凸函数，那么他们的逐点最大值函数f(x)=max{f_1(x),f_2(x)},\mathbf{dom}f=\mathbf{dom}f_1\cap\mathbf{dom}f_2也是凸函数。类似的，如果函数f_1,f_2是凹函数，他们逐点最小值函数f(x)=min{f_1(x),f_2(x)},\mathbf{dom}f=\mathbf{dom}f_1\cap\mathbf{dom}f_2也是凹函数。
前面讨论的函数f函数值为标量，保留凹凸性质可以扩展到矢量中。对于每个y\in A，函数f(x,y)都是x的凸函数，呢么它的上确界（supermum）g(x)=\mathop{sup}\limits_{y\in A}f(x,y)也是凸函数。函数g的定义域为\mathbf{dom}g=\{x\mid(x,y)\in \mathbf{dom}f,y\in A \mathop{sup}\limits_{y\in A}f(x,y)<\infty\}如果用上镜图（epigraph）考虑，就是函数g的上镜图是对于每一个x的上镜图的交集\mathbf{epi}\;g=\bigcap\limits_{y\in A}\mathbf{epi}\;f(\cdot,y)
4 复合函数（composition）
考虑两个凹凸性一致的函数h:R^k\rightarrow R,g:R^n\rightarrow R^k，他们的复合函数f=h\circ g:R^n\rightarrow R凹凸性不变。f(x)=h(g(x)),\mathbf{dom}\; f=\{x\in \mathbf{dom}\; g\mid g(x)\in\mathbf{dom}\;h\}
先考虑简单一点的情况：k=1，这时复合函数退化成函数的缩放（scalar composition）。设定义域内二阶可导的函数h、g（\mathbf{dom}\; g=\mathbf{dom}\; h=R），那么他们的复合函数f的二阶导可以表示为f''(x)=h''(g(x))g'(x)^2+h'(g(x))g''(x)由此可以得到：
- 如果h是凸函数且不减，g为凸函数，那么f为凸函数
- 如果h是凸函数且不增，g为凹函数，那么f为凸函数
- 如果h是凹函数且不减，g为凹函数，那么f为凹函数
- 如果h是凹函数且不增，g为图案书，那么f为凹函数
若函数h、g不可导，或定义域不是全体实数，则需要限制h的扩展值延伸（extended-value extension）不增或者不减。
接下来进一步把问题复杂化，设n=1，但去掉k的限制。这时问题变为了向量的复合。同样假设函数h、g二阶可导，那么f''(x)=g'(x)^T\triangledown^2h(g(x))g'(x)+\triangledown h(g(x))^Tg''(x)其中\triangledown^2为黑塞矩阵（Hessian Matrix）。这样就可以得到与k=1时相同的结论。同样，当n>1或者函数h、g不可二阶导，那么改h的约束条件为h扩展值延伸的约束条件。
5 最小化（Minimization）
一些形式的最小化不会破坏函数的凸性质。如果函数f在(x,y)上为凸函数，C是一个非空凸集，那么函数g(x)=\mathop{inf}\limits_{y\in C}f(x,y)仍是x的凸函数。其定义域为\mathbf{dom}\; g=\{x\mid (x,y)\in \mathbf{dom}\; f,y\in C\}
6 函数的透视（Perspective of a function）
函数f:R^n\rightarrow R的透视函数g:R^{n+1}\rightarrow R定义为g(x,t)=tf(x/t)定义域为\mathbf{dom}\;g=\{(x,t)\mid x/t \in \mathbf{dom}\; f,t>0\}透视函数的凹凸性与原函数保持一致。