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动量矩定理

常用到的动量是用来描述物体质心的运动状态及其变化规律,而动量矩是用来描述物体旋转时,质点系相对于质心或者其他一个定点的运动状态及其变化规律。因为描述的旋转过程所以动量矩又称为角动量。本文将介绍质点与质点系的动量矩和 动量矩定理 。

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1 质点与质点系的动量矩

质点点 O 的动量矩定义为质点动量对于点 O 的矩,即
M_O(m\vec v)=r \times m\vec v
质点对包含点 O 的轴z的动量矩为质点对点 O 动量矩在轴z上的投影,即
[M_O(m\vec v)]_z=M_z(m\vec v)
质点系点 O 的动量矩为质点系内每一个质点对点O动量矩的矢量和,即
L_O=\sum M_O(m_i\vec v _i)
质点系轴z的动量矩为质点系内每个质点对轴z动量矩的矢量和,即
L_z = \sum M_z(m_i \vec v_i)

其中m为质心质量,\vec r为矢径,

2 动量矩定理

动量矩定理质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数,等于作用力对同一点的矩。这里可以类比动量定理:质点动量的增量等于作用与质点上的力的元冲量。证明过程如下

由动量矩定义得

L = r \times m \vec{v}

其中m\vec{v}为动量,对时间的导数为\vec{F}。矢径\vec{r}对时间的导数为质心的速度\vec{v}。所以等式右侧可以整理为 \vec{v} \times m \vec{v} + r\times\vec{F}=M_O(\vec{F}),即作用力对点O的矩。

当对象为质点系时,对于定点 O 的动量矩对时间的导数等于作用于质点系的外力对于点 O 矩的矢量和。分析时可以将每个质点受到的力分为内力和外力两种,分别他们关于点 O 的动量矩,再求矢量和。因为内力总是成对出现的,大小相同,方向相反,所以在求矢量和时内力的动量矩会相互抵消,只留下外力的动量矩。可见,只有外力才能影响动量矩,内力无法影响动量矩。

3 参考资料

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