关于广义不等式的单调性和凹凸性

  1. 用广义不等式定义单调性
  2. 单调函数的梯度
  3. 用广义不等式定义凹凸性
  4. K-凹凸性的对偶性质
  5. 可微的K-凸函数

1 用广义不等式定义单调性

K\subseteq R^n是一个真锥。那么如果方程f:R^n\rightarrow R满足x\preceq _K y \implies f(x)\leqslant f(y)称起为K-不减的。如果满足x\preceq _K y,x\ne y \implies f(x)< f(y)称起为K-单调增的我们也可以使用类似的方法定义K-不增,K-单调减。

2 单调函数的梯度

设一个定义域为凸集的可微函数f若满足\nabla f(x)\succeq_{K^*}0,x\in \mathrm{dom}f,则f是K-不减的。若满足\nabla f(x)\succ_{K^*}0,x\in \mathrm{dom}f,则f是K-单调增的。

3 用广义不等式定义凹凸性

K\subseteq R^m是一个真锥。如果函数f:R^n\rightarrow R^m\forall x,\forall y,0\leqslant \theta \leqslant 1满足f(\theta x+(1-\theta)y) \preceq_K \theta f(x)+(1-\theta)f(y)则称其为K-凸的。如果满足f(\theta x+(1-\theta)y) \prec_K \theta f(x)+(1-\theta)f(y)则称其为严格K-凸的。当m=1时,则会退化称前面讨论的凹凸性。

4 K-凹凸性的对偶性质

函数f是K-凸的,当且仅当对\forall \omega \succeq_{K^*}0满足\omega f是凸的。

函数f是严格K-凸的,当且仅当对\forall \omega \succeq_{K^*}0满足\omega f是严格凸的。

5 可微的K-凸函数

可微函数f是K-凸的,当且仅当其定义域是个凸集,且对\forall x,y \in \mathrm{dom}f,满足f(y)\succeq _K f(x) +\mathrm{D}f(x)(y-x)

可微函数f是严格K-凸的,当且仅当其定义域是个凸集,且对\forall x,y \in \mathrm{dom}f,满足f(y)\succ _K f(x) +\mathrm{D}f(x)(y-x)