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李雅普诺夫稳定性

李雅普诺夫稳定性判据允许任意的设定一个能量函数,只要这个函数满足一些条件即可说明系统是稳定的。由于能量函数定义的灵活性,李雅普诺夫稳定性理论在非线性系统的稳定性分析中起到了重要的作用。

李雅普诺夫稳定

稳定一般指一个对象处于平衡位置,当他受到一个干扰使其离开了平衡位置,在有限的时间内仍会回到平衡位置。而李雅普诺夫稳定与平常的稳定不同,只要不发散即视为李雅普诺夫稳定。将平常认为的稳定命名为渐近稳定。

定义

若对于任意$\epsilon > 0$,均存在$\delta=\delta(\epsilon)>0$,使得对所有满足$\mid x(0)-a\mid<\delta$的$x$,只要$t>0$,都有$\mid x(t)-a\mid<\epsilon$,则称系统在$a$点李雅普诺夫稳定

若点$a$李雅普诺夫稳定,存在$\delta>0$,使所有满足$\mid x_0-a\mid<\delta$的$x_0$,$\lim_{t \to \infty}x(t)=a$,则称a点渐进稳定

若点$a$渐进稳定,存在$\alpha,\beta,\delta>0$,使所有满足$\mid x_0-a \mid <\delta$的$x_0$,$\mid x(t)-a\mid<\alpha \mid x_0-a\mid e^{-βt}$,则$a$点指数稳定

只要初始位置足够靠近平衡位置,则后面的轨迹一定在平衡位置足够小的范围内。可以看出李雅普诺夫稳定仅规定了轨迹不发散,而没有约束系统最后要趋近平衡位置。

指数稳定不仅限制系统最后一定会趋近于平衡位置,还对收敛速度进行了要求。

李雅普诺夫稳定性定理

定理1(李雅普诺夫稳定性定理):如果$x=0$是系统的一个平衡点,$D$为$x$包含0的定义域。设连续可导的函数$V(x)$,如果
$V(0)=0, V(x)>0 $ 在0以外的定义域内
$ V'(x)≤0 $ 在全部定义域内
那么系统在$x=0$处是稳定的
如果$V'(x)$在0以外的定义域内严格小于0,那么系统在原点是渐进稳定的

$V(x)$可以理解为系统包含的能量,其导数小于零说明随着时间的推移系统的能量会逐渐减小。当能量减到最小值时,系统则达到平衡位置。

证明:给定 $\epsilon > 0$ , 选择$r \in ( 0, \epsilon ]$, 满足
$B_r= \{ x∈R^n\mid\, \mid x\mid ≤ r \} \subset D$
设 $\alpha = min_{\mid x \mid =r}V(x)$。
由定理的第一个条件得 $\alpha > 0$。
取 $\beta \in ( 0, \alpha ]$ ,设 $\Omega_{\beta} = \{ x\in B_r  \min V(x) ≤ \beta \}$。
由定理的第二个条件得到 对$\forall t ≥ 0$,都有 $V( x(t) ) ≤ V( x(0) ) ≤ \beta $。
所以 $\Omega_{\beta}$ 是紧集(如果起始点在集合内,那么后面的轨迹都在集合内)
即 $\exists \gamma \in R$ 满足 $\mid x \mid ≤  \gamma \implies V(x) < \beta $ 。
那么 $x(0) \in \Omega_{\beta} \implies x(t) \in \Omega_t \implies x(t) \in B_r$ 。
所以$ \mid x(0) \mid < \gamma \implies \mid x(t) \mid < r , \forall t ≥ 0$.

思路:证明的核心是在状态轨迹外画出一个范围,说明状态是有界的。证明过程从最大的范围:定义域画起,逐步缩小范围,最后画出一个范围包含了整个轨迹。
首先画出一个定义域内第一个集合,然后其边界上取$V(x)$最小的一个点画出一条$V(x)$相等的一条轨迹作为第二个集合。取$V(x)$最小的点是因为该点所在的等$V(x)$线一定都在第一个范围中,如果线的一部分到了外面,则线与第一个集合边界的交点间$V(x)$值小于我们取的$V(x)$值。这样我们在第二个集合内无论做离原点的等距线还是等$V(x)$线都不会出定义域。最后利用$V(x)$导数小于限制住了轨迹不会出第二个集合,所以系统是稳定的。

参考资料

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