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拉格朗日方程组

惯性力与达朗贝尔原理

根据牛顿第二定律有 F+Fn=ma, 其中F是主动力,Fn是约束力。将ma移至等号左面得到F+Fn-ma=0。把-ma看成一个力,则有F+Fn+Fi=0。可见物体在主动力、约束力和惯性形成的力这三个力的作用下保持平衡。这样就可以使用静力学中的工具解决动力学总的问题。

其中Fi就是惯性力,作用在质点上的主动力、约束力和他的惯性力在形成上组成平衡力系就是质点的达朗贝尔原理。

约束

几何约束:限制质点或质点系在空间的几何位置的关系式。
运动约束:限制质点系运动情况的运动学关系式。

定常约束:不随时间变化的约束。
非定常约束:随时间变化的约束。

双侧约束(固执约束):约束方程可以写成等式的约束。如以一钢管为摆杆的单摆。摆杆对摆体的约束为双侧约束。
单侧约束(非固执约束): 约束方程只能写成不等式的约束。如以一软绳限制摆体的单摆。

完整约束:有几何约束和可积分的运动约束所组成的约束为完整约束。
非完整约束:运动约束关系式中包含的微分项不能积分形成有限形式。

虚位移

在满足约束条件下的任意一组无限小位移为质点系的可能位移。其中任意两组的差称为质点系的一组虚位移。虚位移是两组可能位移的差而不是一组可能位移是为了排除时间影响。

只考虑完整、双侧约束的情况下,约束的一般形式为f(x,y,z,t)=0。设一个无限小位移dr=dxi+dyj+dzk,其中i、j、k是x、y、z轴上的单位向量。位移满足约束则需要满足fxdx+fydy+fzdz+ftdt=0。

虚位移是两个可能位移之差,需要用δr=dr1-dr2=δxi+δyj+δzk来表示。其中δ为变分符号。满足约束则需要满足fxδx+fyδy+fzδz=0

比较两个约束条件的表达方式可以看出在定常约束中,虚位移和可能位移是等价的。对于非定常约束,计算虚位移前需要先固定时间。

虚位移原理

虚功是力在虚位移上做的功,一般表示为δW=F·δr。理想约束是所有约束力所做的虚功和为零。

当质点处于静止平衡状态时主动力的合力与约束力合力为零,即Fi+FN=0。此时主动力和约束力所做的虚功和同样等于零,Fiδr+FNδr=0。理想约束下,FNδr=0。所以理想约束下,平衡的充要条件时所有主动力在任意虚功下所做的虚功和为零,即Fiδr=0。这就是虚位移原理。

广义坐标

前面都是在笛卡尔坐标系下描述质点坐标,当拓展到一般的独立参数描述坐标即广义坐标。力、虚位移相应地也可以拓展到广义力和广义虚位移。

广义坐标下的动力学普遍方程与第二类拉格朗日方程

有势力情况下的拉格朗日方程

参考资料

理论力学 第八版 高等教育出版社 哈尔滨工业大学理论力学教研室编

理论力学 第三版 高等教育出版社 A.II.马尔契夫著 李俊峰译

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