关于广义不等式的单调性和凹凸性

  1. 用广义不等式定义单调性
  2. 单调函数的梯度
  3. 用广义不等式定义凹凸性
  4. K-凹凸性的对偶性质
  5. 可微的K-凸函数

1 用广义不等式定义单调性

设是一个真锥。那么如果方程满足称起为K-不减的。如果满足称起为K-单调增的我们也可以使用类似的方法定义K-不增,K-单调减。

2 单调函数的梯度

设一个定义域为凸集的可微函数若满足,则是K-不减的。若满足,则是K-单调增的。

3 用广义不等式定义凹凸性

设是一个真锥。如果函数对满足则称其为K-凸的。如果满足则称其为严格K-凸的。当时,则会退化称前面讨论的凹凸性。

4 K-凹凸性的对偶性质

函数是K-凸的,当且仅当对满足是凸的[……]

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树莓派使用C语言控制MPU6050

mpu6050是一个经济实用的imu传感器。本文介绍如何在树莓派中使用C语言控制MPU6050。为了减少代码移植难度,使用的函数均为Linux函数(read,write,ioctl等)而没有使用树莓派io库,所以其他已经安装好i2c驱动的Linux设备同样适用。

MPU6050接线

MPU6050的Data接在GPIO2,Clock 接在GPIO3。

linux调试工具

在编写程序控制前先使用Linux工具进行调试,测试传感器连接等是否正确。下面这些软件树莓派已经预装,没有安装的系统使用apt-get或pacman等软件管理器安装即可。

首先使用检验主机i2c[……]

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对数凹函数和对数凸函数

  1. 定义
  2. 性质

1 定义

如果函数,定义域内满足的点构成的是凸的,那么称函数为对数凸函数。相应的,如果是凹的的,那么称函数为对数凹函数。

我们还可以不用对数描述对数凹凸性。设一函数,其定义域为一凸集且定义域内所有点都满足,那么函数是对数凹函数的充要条件是

对比凸函数的定义可以看出凸函数中任意两点平均位置的函数值都大于两点函数值的算术平均值,而对数凸函数的任意两点连线中点函数值都大于两点函数值的几何平均值。

2 性质

二阶可微的对数凸(凹)函数

设函数是一个二阶可微的,并且定义域是一个凸集,那么有若函数为对数凸函数,则需要满足,也就是类似的,当为对数凹函数时则[……]

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拟凸函数(quasiconvex function)

  1. 定义
  2. 基础性质
  3. 可微拟凸函数
  4. 可以保留拟凸性质的运算

1 定义

如果一个函数的定义域及其所有子集满足对任意都是凸的,那么称函数为拟凸函数(quasiconvex function)。也就是存在一个使函数值小于的部分是凸的,那么该函数为拟凸的。

类似的,当函数满足都是凸的,那么称函数为拟凹函数(quasiconcave function)。也就是如果是拟凸的,那么是拟凹的。

若函数同时满足拟凸和拟凹,即满足那么称该函数为拟线性函数。

下面通过作为例子

使用定义式进行说明,取得到,是个凸集。类似的取其他,仍是一个凸集,所以是个拟凸函数。取仍然可以得到类似的结论,所[……]

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修改全局适用的Linux默认程序

在manjaro KDE中使用右键打开方式、系统设置等方式无法改变第三方程序打开程序的默认程序选择。例如,使用右键选择pdf的默认程序为okular,但是只有在文件浏览器中打开pdf文件的情况下会调用okular,在文献管理软件zotero中打开pdf文件调用的程序没有被修改。本文将介绍方法,修改全局适用的Linux默认程序。

一般状况下,在修改Linux默认程序和在windows中步骤相同:选择一个希望修改的默认程序的文件,然后右键,在菜单中选择打开方式。

在弹出的窗口中选择默认使用的程序,并勾选默认使用该程序打开。

邮件管理、文件管理、终端、浏览器的默认软件都可以[……]

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共轭函数(the conjugate function)

定义

设一函数,那么它的共轭函数定义为:的定义域为使有界的所有。下面列举几个常见函数与他们的共轭函数。

原函数共轭函数

基本性质

Fenchel’s inequality
从共轭函数的定义式可以得到不等式该式被称为Fenchel’s inequality(当f可微时被称为Young’s inequality)

共轭函数的共轭
如果函数f是凸的闭函数,那么函数f的共轭函数的共轭仍是函数f,即

可微函数的共轭
可微函数f的共轭被成为函数f的Legendre变换。为了将可微函数的共轭与一般形式的共轭区分开,称其为Fenchel共轭。
如果函数f是可微的凸函数,那么的最大值[……]

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连续时间线性系统的时间离散化

计算机等数字化处理方式逐渐替代模拟电路进行逻辑运算,而数字化处理方法使用的都是离散模型,即每个采样周期内输入保持不变。本文介绍如何将连续时间线性系统进行离散化。

离散化方法

考虑线性时不变系统:其中状态x为n维列向量,输入u为p维列向量,A为常阵,B为常阵。
可将其离散化为下面形式并满足以下关系:

在证明上面关系前先介绍两个概念,基本解阵和状态转移矩阵。

基本解阵

基于状态方程构建基本解阵对于线性时不变系统,基本解阵由n个线性无关的列构成,H阵非奇异。可以这样理解,H每一个列向量都对应状态方程中的一个初始条件。对于自治系统()初始状态和和模型已知时,就可以解出状态整[……]

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保留凸性质的函数运算

  1. 非负加权和(nonegative weighted sum)
  2. 仿射映射(affine mapping)
  3. 逐点最大值和最小值(pointwise maximum and supremum)
  4. 复合函数(composition)
  5. 最小化(Minimization)
  6. 函数的透视(Perspective of a function)

前面介绍了可以保留凸性质的集合运算。从凸集变为凸函数后,我们将讨论可以保留凸性质的函数运算。

1 非负加权和(nonegative weighted sum)

很明显,如果函数f是一个凸函数,那么f乘以乘以一个非负常数a后仍为凸函数。如果函数f和g都是凸函数,那么他[……]

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让WordPress下的百度统计不记录已登录用户的数据

百度统计是在国内使用较为方便的一款网站统计工具,可以帮助站长了解网站的访客数量、来源等统计数据,方便进行内容优化。本文将介绍让WordPress下的百度统计不记录已登录用户的数据。使用百度统计需要进入后台获取类似下面的统计代码,将他们插入到主题的header.php中</head>标签前。

直接使用这段代码会在每个网页在被访问时都会调用统计,出现的问题是统计数据不会区分访客和管理员。像我这样的小网站,如果一天我频繁使用网站写东西,那么这一天的统计数据会远高于其他天数,严重影响统计结果。可以通过修改统计代码,实现让百度统计排除已知用户。在百度统计代码前后加上

is_use[……]

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凸函数的基本性质和例子

  1. 定义
  2. 扩展值延伸(extended-value extension)
  3. 一阶条件(first-order condition)
  4. 二阶条件(second-order condition)
  5. 典型凸函数
  6. 下水平集(sublevel set)
  7. 上镜图(epigraph)
  8. Jensen不等式及其拓展形式
  9. 其他类型的不等式
  10. 参考

1 定义

如果函数的定义域和值域都是凸集,而且对任意都满足那么称函数f是一个凸函数(convex function)。如果将上式中的小于等于修改为小于,定义域内任意不等的x和y仍然满足,那么称函数f是一个严格凸函数(strictly convex function)。

形象的理解凸[……]

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