本文介绍了 保留凸性质的集合运算 , 包括交集（intersection）、仿射函数（affine function）、透视函数（perspective function）、线性分式函数（linear-fractional function）。
1 交集（intersection）
如果集合S_1和S_2都是凸集，那么他们的交集S_1\cap S_2也是凸集。我们也可以拓展到任意数量的凸集的交集\cap_{\alpha \in A}S_{\alpha}也是凸集。
举个例子，多面体是半空间和超平面的交集。因为半空间和超平面都是凸集，那么多面体也是一个凸集。
2 仿射函数（affine function）
仿射函数是通过线性函数和常数的组合实现从R^n到R^m的映射。
仿射函数不会打破凸性质，也就是通过通过仿射函数f(x)=Ax+b其中A\in R^{m \times n},b\in R^m,如果x属于凸集S，那么仿射函数
f(S)=\{f(x)\mid x\in S\} 也是凸的。
同样，反过来使用仿射函数也不会破坏凸性质，即f^{-1}(S)=\{x\mid f(x)\in S\}也是凸的。
通过仿射函数可以拓展很多已知是凸的函数到新的函数。例如缩放（A\ne 0,b=0）和平移（A=0,b\ne 0）都是特殊的仿射函数，所以他们都不会改变凸性质。
通过仿射函数f(x)=(P^{1/2}x,c^Tx)可以将双曲线锥（hyperbolic cone）\{x\mid x^TPx \leqslant (c^Tx)^2,c^Tx \geqslant 0\} 变成二阶锥（second-order cone）\{(z,t)\mid z^Tz \leqslant t^2,t \geqslant0\}
3 透视函数（perspective function）
透视函数是将R^{n+1}空间映射到R^n空间，定义域dom P为R^n \times R_{++},例如P(z,t)=z/t。其中R_{++}为正数集\{x\in R \mid x>0\}，\times为笛卡尔积（cartesian product）S_1\times S_2=\{(x_1,x_2)\mid x_1\in S_1,x_2\in S_2\}。
透视函数通过将一维变量变成常数，降一维。类似于一个相机，通过二维图片记录某一位置的三维空间。
如果在透视函数P(z,t)=z/t的定义域内的C是凸的，那么透视结果P(C)=\{P(x)\mid x\in C\}也是凸的。类似的，C\subseteq R^n是凸的，那么P^{-1}(C)=\{(x,t)\in R^{n+1}\mid x/t \in C, t>0\}也是凸的。
4 线性分式函数（linear-fractional function）
设g:R^n\rightarrow R^{m+1}是仿射的，也就是g(x)=\begin{bmatrix}A\\c^T\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}其中A\in R^{m\times n},b\in R^m,c\in R^n,d\in R。那么称函数f=P\circ g，也就是形如f(x)=(Ax+b)/(c^Tx+d)\\dom f=\{x\mid c^Tx+d>0\}为线性分式函数。保留凸性质的运算
可以这样理解线性分式函数，首先通过仿射函数g将n维空间内的点仿射到n+1维空间内，再通过透视函数P降维到n维空间内。因为仿射函数和透视函数都不会改变凸性质，所以线性分式函数也不会改变凸性质。
可以将线性函数和仿射函数都是线性分式函数的特例。例如规定c=0,d>0那么线性分式函数则变成了仿射函数。