本文是我在学习Convex Optimization这本书第2章Convex sets过程的读书笔记，翻译了凸优化基本概念的定义和相关性质。一些名词的翻译参考了其他博客的翻译，没有经过仔细查阅文献，所以专业名词都保存了英文原文。
- 线与线段
- 仿射集
- 仿射维度和相对内部
- 凸集
- 锥
- 参考
1 线与线段
设不等的两个点 x_1、x_2 \in \mathbf{R}^n，这两个点可以通过
y=\theta x_1+(1-\theta)x_2
形成直线(line)y，其中\theta \in \mathbf{R}。通过调整\theta可以得到x_1、x_2所在直线上任意一个点。
也可以变形
y=x_2+\theta(x_1-x_2)
当0<\theta<1时，y为以x_1、x_2为端点的线段(line segment)。
2 仿射集
当一个属于\mathbf{R}^n的C，其中任意两个不同的点所在直线仍在C中，则称C是一个仿射集(affine set)。也就是，\forall x_1、x_2 \in C,\theta \in \mathbf{R}, \theta x_1+(1-\theta) x_2 \in C。
还可以将点的数量进行拓展。\theta_1x_1+\cdots+\theta_kx_k，其中\theta_1+\cdots+\theta_k=1,则称为其为x_1,\cdots,x_k的仿射组合(affine combination)。当x_1+\cdots+x_k都属于仿射集C，那么他们的仿射组合仍然属于仿射集C。
属于\mathbf{R}^n内的集C内所有的仿射组合被称为仿射包(affine hull)，记为\mathbf{aff}C
\mathbf{aff}C=\{\theta_1x_1+\cdots+\theta_kx_k\mid x_1,\ldots,x_k \in C,\theta_1+\cdots+\theta_k=1\}
3 仿射维度和相对内部
集合的仿射维度(affine dimension)为其仿射包的维度。它与常见的维度定义不太相同，例如一个单位圆\{x\in \mathbf{R}^n\mid x_1^2+x_2^2=1\}的仿射维度为2维，而在常用的维度定义下他是1维的。
集合C的相对内部(relative interior)为其仿射包的内点，记为\mathbf{relint}C
\mathbf{relint}C=\{x\in C\mid B(x,r) \cap \mathbf{aff}C \subseteq C ,r >0\}
其中B(x,r)=\{y \mid \parallel y-x \parallel \leqslant r \}。
4 凸集
以集合C中任意两个不同的点作为端点形成的线段都被集合C所包括，那么称集合C为凸集(convex set)。
我们称\theta_1x_1+\cdots+\theta_kx_x，其中\theta_1+\cdots+\theta_k=1,\theta_i\geqslant 0,i=1,\ldots,k，为点x_1,\ldots,x_k的凸组合(convex combination)。
集合C的凸包(convex hull)为C内所有的凸组合，记为\mathbf{conv}C
\mathbf{conv}C=\{\theta_1x_1+\cdots+\theta_kx_k\mid x_i\in C,\theta_i\geqslant 0,i=1,\ldots,k,\theta_1+\cdots+\theta_k=1\}
5 锥
如果集合C内每一个点x，对任意大于零的\theta，都有\theta x\in C，那么称C为锥(cone)。也就是以原点为起始点，包含点x的射线在集合C内。
若集合C是锥且是凸的，那么C为凸锥(convex cone)。
\theta_1x_1+\theta_2x_2\in C,\forall x_1,x_2\in C,\theta_1,\theta_2\geqslant 0
在\theta_1,\ldots,\theta_k\geqslant0条件下满足\theta_1x_1+\cdots+\theta_k x_k则称为x_1,\ldots,x_k的锥组合(conic combine)。
集合C的锥包(conic hull)是集合内所有锥组合的集合。