关于广义不等式的单调性和凹凸性

  1. 用广义不等式定义单调性
  2. 单调函数的梯度
  3. 用广义不等式定义凹凸性
  4. K-凹凸性的对偶性质
  5. 可微的K-凸函数

1 用广义不等式定义单调性

设是一个真锥。那么如果方程满足称起为K-不减的。如果满足称起为K-单调增的我们也可以使用类似的方法定义K-不增,K-单调减。

2 单调函数的梯度

设一个[……]

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对数凹函数和对数凸函数

  1. 定义
  2. 性质

1 定义

如果函数,定义域内满足的点构成的是凸的,那么称函数为对数凸函数。相应的,如果是凹的的,那么称函数为对数凹函数。

我们还可以不用对数描述对数凹凸性。设一函数,其定义域为一凸集且定义域内所有点都满足,那么函数是对数凹函数的充要条件是

对比凸函数的定义可以看出凸[……]

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拟凸函数(quasiconvex function)

  1. 定义
  2. 基础性质
  3. 可微拟凸函数
  4. 可以保留拟凸性质的运算

1 定义

如果一个函数的定义域及其所有子集满足对任意都是凸的,那么称函数为拟凸函数(quasiconvex function)。也就是存在一个使函数值小于的部分是凸的,那么该函数为拟凸的。

类似的,当函数满足都是凸的,那么称函数为拟凹[……]

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保留凸性质的函数运算

  1. 非负加权和(nonegative weighted sum)
  2. 仿射映射(affine mapping)
  3. 逐点最大值和最小值(pointwise maximum and supremum)
  4. 复合函数(composition)
  5. 最小化(Minimization)
  6. 函数的透视(Perspective of a fu[……]

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凸函数的基本性质和例子

  1. 定义
  2. 扩展值延伸(extended-value extension)
  3. 一阶条件(first-order condition)
  4. 二阶条件(second-order condition)
  5. 典型凸函数
  6. 下水平集(sublevel set)
  7. 上镜图(epigraph)
  8. Jensen不等式及其拓展形式
  9. 其他类型的不等式
  10. 参考

[……]

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对偶锥(dual cone)与广义不等式(generalized inequality)

  1. 真锥
  2. 广义不等式
  3. 分割超平面定理
  4. 支撑超平面
  5. 对偶锥和对偶广义不等式
  6. 最小和极小元素
  7. 参考

1 真锥(proper cone)

锥如果满足以下几个条件则可以被称为真锥

  • K是凸的
  • K是闭合的(closed)
  • K是solid,也就是内部不是空的。
  • K是尖的,也就是内部不含有直线,

2 广义不等式[……]

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保留凸性质的集合运算

交集(intersection)

如果集合和都是凸集,那么他们的交集也是凸集。我们也可以拓展到任意数量的凸集的交集也是凸集。

举个例子,多面体是半空间和超平面的交集。因为半空间和超平面都是凸集,那么多面体也是一个凸集。

仿射函数(affine function)

仿射函数是通[……]

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典型凸集

  1. 超平面(hyperplane)和半空间(halfspace)
  2. 欧几里得球(euclidean ball)和椭球体(ellipsoid)
  3. 多面体(polyhedra)和单纯形(simplex)
  4. 参考

本文是我在学习Convex Optimization这本书第2章Convex sets过程的读书笔记,[……]

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凸集基本概念

  1. 线与线段
  2. 仿射集
  3. 仿射维度和相对内部
  4. 凸集
  5. 参考

本文是我在学习Convex Optimization这本书第2章Convex sets过程的读书笔记,翻译了凸优化基本概念的定义和相关性质。一些名词的翻译参考了其他博客的翻译,没有经过仔细查阅文献,所以专业名词都保存了英文原文。

1 线与线[……]

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