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凸优化

关于广义不等式的单调性和凹凸性

用广义不等式定义单调性 单调函数的梯度 用广义不等式定义凹凸性 K-凹凸性的对偶性质 可微的K-凸函数 1 用广义不等式定义单调性 设是一个真锥。那么如果方程满足称起为K-不减的。如果满足称起为K-单调增的我们也可以使用类似的方法定义K-不增,K-单调减。 2 单调函数的梯度 设一个[&#… 阅读更多 »关于广义不等式的单调性和凹凸性

对数凹函数和对数凸函数

定义 性质 1 定义 如果函数,定义域内满足的点构成的是凸的,那么称函数为对数凸函数。相应的,如果是凹的的,那么称函数为对数凹函数。 我们还可以不用对数描述对数凹凸性。设一函数,其定义域为一凸集且定义域内所有点都满足,那么函数是对数凹函数的充要条件是 对比凸函数的定义可以看出凸[&#823… 阅读更多 »对数凹函数和对数凸函数

拟凸函数(quasiconvex function)

定义 基础性质 可微拟凸函数 可以保留拟凸性质的运算 1 定义 如果一个函数的定义域及其所有子集满足对任意都是凸的,那么称函数为拟凸函数(quasiconvex function)。也就是存在一个使函数值小于的部分是凸的,那么该函数为拟凸的。 类似的,当函数满足都是凸的,那么称函数为拟凹[… 阅读更多 »拟凸函数(quasiconvex function)

对偶锥(dual cone)与广义不等式(generalized inequality)

真锥 广义不等式 分割超平面定理 支撑超平面 对偶锥和对偶广义不等式 最小和极小元素 参考 1 真锥(proper cone) 锥如果满足以下几个条件则可以被称为真锥: K是凸的 K是闭合的(closed) K是solid,也就是内部不是空的。 K是尖的,也就是内部不含有直线, 2 广义不… 阅读更多 »对偶锥(dual cone)与广义不等式(generalized inequality)

保留凸性质的集合运算

交集(intersection) 如果集合和都是凸集,那么他们的交集也是凸集。我们也可以拓展到任意数量的凸集的交集也是凸集。 举个例子,多面体是半空间和超平面的交集。因为半空间和超平面都是凸集,那么多面体也是一个凸集。 仿射函数(affine function) 仿射函数是通[&#8230… 阅读更多 »保留凸性质的集合运算

典型凸集

超平面(hyperplane)和半空间(halfspace) 欧几里得球(euclidean ball)和椭球体(ellipsoid) 多面体(polyhedra)和单纯形(simplex) 参考 本文是我在学习Convex Optimization这本书第2章Convex sets过程的… 阅读更多 »典型凸集
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凸集基本概念

线与线段 仿射集 仿射维度和相对内部 凸集 锥 参考 本文是我在学习Convex Optimization这本书第2章Convex sets过程的读书笔记,翻译了凸优化基本概念的定义和相关性质。一些名词的翻译参考了其他博客的翻译,没有经过仔细查阅文献,所以专业名词都保存了英文原文。 1 线… 阅读更多 »凸集基本概念